These are my lecture notes for the analysis 1 course at the Vienna University of Technology.

2. Zahlen

Körper \((K, +, \ast)\) (field)


Ordnungsrelation/partielle Ordnung/Halbordnung (partial order) auf \(M\)


Eine Ordnungrelation heißt lineare Ordnung (Totalordnung/total order) wenn für alle x, y gilt \(x \le y \lor y \le x\)

Angeordneter Körper (ordered field) \((K, \le)\) mit Körper \(K\) und linearer Ordnung \(\le\)

Verträglichkeit der Ordnungs- und Körperaxiome

In einem angeordneten Körper kann man einen Positivitätsbereich auszeichnen:
\(P = \{k\in K \mid k \ge 0\}\), \(a \le b \iff b-a \in P\)

Ordnungsvollständigkeit (completeness)

Ein angeordneter Körper heißt ordnungsvollständig falls gilt: \(\forall A \subset K: (A \ne \emptyset \wedge A \textrm{ nach oben beschränkt}) \implies \sup(A) \textrm{ existiert (in K)}\)


Induktive Menge (inductive sets)

\(M \subset \mathbb{R}\) heißt induktiv falls gilt \((1 \in M) \wedge (\forall a \in M: (a+1) \in M)\)

Binomischer Lehrsatz (binomial theorem)

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}b^k $$

Bernoullische Ungleichung (Bernoulli's inequality)

$$ n \in \mathbb{N}\setminus\{1\},\, x \in \mathbb{R}\setminus\{0\},\, x > -1\\ (1+x)^n > 1+nx $$

Archimedes-Eudoxos


Wohlordnungssatz (well-ordering theorem)

Jede nichtleere Teilmenge von \(\mathbb{N}\) besitzt ein kleinstes Element

Potenzen mit rationalen Exponenten

Potenzen mit rationalen Exponenten sind über ganzzahlige Wurzeln definiert.
Sei \(r = \frac{p}{q}\). Dann gilt $$ a^r := \sqrt[q]{a^p}\qquad a^{-r} := \frac{1}{a^r}\qquad 0^r := 0\qquad a^0 := 1 $$

Metrik \(d\colon X \times X \rightarrow \mathbb{R}\)


\((X, d)\) ist ein metrischer Raum
diskrete Metrik ist \(1\) falls \(x \neq y\) und \(0\) falls \(x=y\)

Norm \(\Vert \cdot\Vert \colon V \rightarrow \mathbb{R}\)


\((V, \Vert \cdot\Vert)\) ist ein normierter Raum
(\(d(x, y) = \Vert x-y\Vert\) ist eine Metrik auf \(V\))

Skalarprodukt/inneres Produkt \(\langle\cdot,\cdot\rangle \colon V \times V \rightarrow \mathbb{R}\)


\((V, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) ist ein euklidischer Vektorraum
\(\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}\) ist eine Norm auf \(V\)

Cauchy-Schwarz

Euklidischer Vektorraum \((V, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) mit Norm \(\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}\)
$$\forall x, y \in V: \vert\langle x, y\rangle \vert \le \Vert x \Vert \cdot \Vert x \Vert$$

3. Folgen (infinite sequences)

Konvergenz/Divergenz


$$ x = \lim_{x \to \infty} x_n \\ \iff\forall\epsilon>0,\, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, n\ge n_0\colon \Vert x_n-x\Vert < \epsilon $$

Teilfolgen (subsequences)


Cauchykriterium

Cauchyfolge: \(\forall\epsilon>0,\, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, \forall n, m\ge n_0\colon \Vert a_n-a_m\Vert < \epsilon\)
In ordnungsvollständigen Räumen gilt: \(a_n \textrm{Cauchyfolge} \iff \textrm{konvergent}\)

Häufungspunkte (cluster point/accumulation point)

\(x\) ist HP von \(x_n\) wenn gilt:
$$ \forall\epsilon>0,\, \forall n_0 \in \mathbb{N}, \, \exists n \ge n_0\colon \Vert x-x_n\Vert < \epsilon $$
Sei \(H\) die Menge der HP, also \(H = \{k :k \textrm{ ist HP von }a_n\}\)


Potenzen mit reellen Exponenten und Logarithmen

Sei \(a > 0,\, x \in \mathbb{R}\) und \(q_n\) eine Folge in \(\mathbb{Q}\) ist mit \(\lim_{n\to\infty}{q_n=x}\). Dann ist \(a^x := \lim_{n\to \infty}{a^{q_n}}\).
Das eindeutige \(x\in\mathbb{R}\) in \(b^x=a\) mit \(b>1,\, a>0\) nennt sich Logarithmus von \(a\) zur Basis \(b\), \(x:=\log_ba\)

\(e :=\lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}\)

4. Reihen (series)


Eine unendliche Reihe ist eine Folge der Gestalt: $$ (\sum_{k=1}^n a_k)_{n\in\mathbb{R}} $$ Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der zugehörigen Partialsummenfolge: $$ \sum_{k=k_0}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=k_0}^n a_k $$
Die Reihe divergiert falls dieser Grenzwert \(\pm \infty\) ist.


\(\sum_{n=1}^\infty a_n\) mit \(a_n \ge 0\) konvergiert genau dann wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist.
\(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}\) konvergiert für \(\alpha>1\), divergiert für \(\alpha \le 1\).
\(\sum_{k=1}^\infty a_0q^k = \frac{a_0}{1-q}\) gilt für \(|q|<1\).

Absolute Konvergenz


Assoziativgesetz für Reihen?

Nein, man kann in einer konvergenten Reihe Klammern setzen aber nicht weglassen
→ Satz 4.10 zu konvergenten Segmenten

Kommutativgesetz für Reihen?

Sei \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) eine Reihe, \(f\colon \mathbb{N} \rightarrow\mathbb{N}\) bijektiv


Es gelten folgende Aussagen:


Leibnizkriterium

Sei \(a_n\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb{R}_0^+\) mit \(a_n \rightarrow 0\).


Cauchyscher Verdichtungssatz

Sei \(a_n\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb{R}_0^+\). Dann gilt $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergent} \iff \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} \textrm{ konvergent} $$

Majoranten-, Minoranten-, Vergleichskriterium

Sei

(gilt auch für Folgen im \(\mathbb{R}^m\) oder \(\mathbb{C}\), im weiteren den Betrag durch eine Norm ersetzen)

Majorantenkriterium $$ \forall n \ge n_0\colon (|a_n|\le c_n) \textrm{ und } \sum_{n=1}^\infty c_n \textrm{ konvergent } \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergent} $$ Minorantenkriterium $$ \forall n \ge n_0\colon (a_n\ge c_n) \textrm{ und } \sum_{n=1}^\infty c_n \textrm{ divergent } \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ divergent} $$ Vergleichskriterium

Falls \(\forall n \ge n_0\colon (a_n \ge 0)\) und \(x := \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\) existiert, dann gilt, falls \(x > 0\): $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergiert} \iff \sum_{n=1}^\infty b_n \textrm{ konvergiert} $$ falls \(x = 0\): $$ \sum_{n=1}^\infty b_n \textrm{ konvergiert} \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergiert} $$

Wurzelkriterium

$$ \alpha := \limsup{\sqrt[n]{\Vert a_n\Vert}} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$

Quotientenkriterium

$$ \alpha := \limsup{\bigg\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg\vert} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$ $$ \beta := \liminf{\bigg\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg\vert} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$

Faltung (Convolution)

$$ (a_n) \ast (b_n) = (c_n) \textrm{ mit}\\ \forall n \in \mathbb{N}\colon c_n := \sum_{i=1}^na_ib_{n+1-i} = \sum_{i+k = n+1} a_i b_k $$

Cauchyprodukt

$$ \textrm{Cauchyprodukt: Reihe zu obigem } c_n \leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty \sum_{i=1}^na_ib_{n+1-i} $$
Seien Reihen \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) und \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) absolut konvergent. Dann ist ihr Cauchyprodukt \(\sum_{n=1}^\infty c_n\) absolut konvergent und es gilt: $$ \sum_{n=1}^\infty c_n = (\sum_{n=1}^\infty a_n)\cdot(\sum_{n=1}^\infty b_n) $$

Exponentialfunktion

$$ \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} $$

Sinus, Cosinus

$$ \cos{x} := \textrm{Re}(\textrm{exp}(ix)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}\\ \sin{x} := \textrm{Im}(\textrm{exp}(ix)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ \cosh{x} := \frac{\exp{x}+\exp{-x}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}\\ \sinh{x} := \frac{\exp{x}-\exp{-x}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$

5. Stetige Funktionen (continuous functions)

\(f\colon A \rightarrow B\) heißt


rechtsseitig und linksseitig stetig in \(x\) \(\iff\) stetig in \(x\)
Eine Funktion ist rechtsseitig bzw. linksseitig stetig in \(x\) wenn obige Definition spezifisch für Folgen gilt die von rechts bzw. links gegen \(x\) konvergieren.

Die Identitätsfunktion und Zusammensetzungen und Komposition von stetigen Funktionen sind stetig.

Stetigkeit in Outputs kann man getrennt untersuchen, Stetigkeit in Inputs nur zusammen. (Stetigkeit einer vektorwertigen Funktion komponentenweise, Stetigkeit einer Funktion in mehreren Variablen nicht getrennt für die einzelnen Variablen)

Epsilon-Delta Kriterium

\(f\colon A \rightarrow B\) heißt stetig in \(x\) falls gilt $$ \forall \epsilon > 0,\, \exists\delta>0,\, \forall y\in A\colon \Vert x-y\Vert < \delta \implies \Vert f(x)-f(y)\Vert < \epsilon $$

Lipschitzstetigkeit (Lipschitz-continuity)

\(\exists L>0,\, \forall x, y \in A\colon \Vert f(x)-f(y) \Vert \le L \Vert x-y \Vert\)
Eine Lipschitz-stetig Funktion mit \(L<1\) nennt man kontraktiv.

Topologische Grundbegriffe

Sei \(X:=\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^m\) oder \(\mathbb{C}\) und \(A \subset X\)


Jede Funktion ist in allen ihren isolierten Punkten stetig, daher ist die Stetigkeit einer Funktion nur in den Häufungspunkten des Definitionsbereichs interessant.

\((I)\): Sei \(f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). \(f\) ist stetig \(\iff\) Das Urbild \(f^{-1}\) aller offener Mengen \(D\in\mathbb{R}\) ist offen

Stetigkeit in metrischen Räumen

Seien \((X, d), (Y, d')\) metrische Räume und \(f\colon A (\subset X) \rightarrow Y\)


(Epsilon-Delta Kriterium mit Metrik statt Norm, topologische Begriffe definiert analog zu oben nur mit Metrik statt Normen)

Analog zu \((I)\) oben: Seien \((X, d), (Y, d')\) metrische Räume.
\(f\colon X\rightarrow Y\) ist stetig \(\iff\) \(\forall O \subset Y \textrm{ offen}\colon f^{-1}(O) \textrm{ offen}\)

Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum. Dann gilt:


Stetigkeit in topologischen Räumen

\(\mathcal{T} \subset\mathcal{P}(X)\) heißt Topologie falls Bedingungen T1-T3 (analog zu obigen Punkten zu metrischen Räumen) gelten. \((X, \mathcal{T})\) heißt dann topologischer Raum, \(\mathcal{T}\) heißt System der offenen Mengen.

→ Definition 5.21 zu Stetigkeit in topologischen Räumen

Für \(X\ne \emptyset\) gilt:


\(\mathcal{T}_d:=\{O\subset X : [\forall x \in O,\,\exists\epsilon>0\colon U_\epsilon(x)\subset O]\}\) ist die durch die Metrik erzeugte Topologie.
Ein topologischer Raum \((X, \mathcal{T})\) heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik \(d\) auf \(X\) gibt, sodass \(\mathcal{T}_d=\mathcal{T}\).

Grenzwert von Funktionen (limits of functions)

Sei \(f: A \rightarrow B\) und \(x_0\) Häufungspunkt von \(A\).
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=y \iff \\ \forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in(U_\delta(x_0)\setminus\{x_0\})\cap A\colon f(x)\in U_\epsilon(y) $$
Satz 5.26: Sei \(f: A \rightarrow B\) und \(x_0\) Häufungspunkt von \(A\). $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=y \iff\\ \forall (x_n)\in (A\setminus\{x_0\})^\mathbb{N}\colon [x_n \rightarrow x_0 \implies f(x_n) \xrightarrow{Y} y] $$ (\(x_0\) bzw: \(y\) können \(\in \{+\infty, -\infty\}\) sein)

Linksseitiger Grenzwert (rechtsseitig analog) $$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=y \iff \\\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in(U_\delta(x_0)\setminus\{x_0\})\cap A\cap(-\infty, x_0)\colon f(x)\in U_\epsilon(y) $$
Satz 5.27: \(f\) stetig \(\iff\) \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\) (bzw rechts und linksseitiger Limes)

Sprungstelle, Fortsetzung, hebbare Unstetigkeit

Wenn in \(x_0\) die links- und rechtsseitigen Limiten existieren und verschieden sind ist \(x_0\) eine Sprungstelle.

Sei \(x\notin A\) Häufungspunkt von \(A\). \(f\) ist nach \(x_0\) stetig fortsetzbar, wenn \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) existiert. \(\overline f\colon A \cup \{x_0\} \rightarrow B\) mit [\(\overline f(x)=\)...] heißt Fortsetzung von \(f\).

\(f\) besitzt in \(x_0\) eine hebbare Unstetigkeit wenn \(f\) in \(x_0\) unstetig ist aber \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) existiert.

Kompaktheit (compactness)

\(A \subset \mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^m\) oder \(\mathbb{C}\) heißt (folgen-)kompakt \(\iff\) $$ \forall (x_n)\in A^\mathbb{N},\,\exists (x_{n_k}),\, \exists x \in A \colon x_{n_k} \rightarrow x $$ (Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, ähnlich zu Bolzano Weierstraß in \(\mathbb{R}\), aber \(x\in A\))

Sei \(A \subset \mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^m\) oder \(\mathbb{C}\): \(A\) ist kompakt \(\iff A\) abgeschlossen und beschränkt (von einer 1-Kugel der Norm)

Bsp: \(A= (0, 1), a_n=(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},..).\) \(a_n\) kann nicht gegen \(0\) konvergieren da \(0 \notin A\).

Überdeckungen (covers)

Eine Familie offener Mengen heißt offene Überdeckung von \(A\), wenn \(A\) eine Teilmenge ihrer Vereinigung ist.
endliche Teilüberdeckung: endliche Teilmenge einer offenen Überdeckung die auch selbst eine Überdeckung ist.

\(A\) ist überdeckungskompakt genau dann, wenn zu jeder offenen Überdeckung von \(A\) eine endliche Teilüberdeckung existiert.


Oberhalb-/Unterhalbstetigkeit


Gleichmäßige Stetigkeit (uniform continuity)

\(f\colon A \rightarrow B\) heißt gleichmäßig stetig auf \(A\) wenn gilt: $$ \forall \epsilon > 0,\,\exists\delta>0,\,\forall x,y \in A\colon (\Vert x-y\Vert<\delta \implies\Vert f(x)-f(y)\Vert < \epsilon) $$ Heine: \(A\) kompakt und \(f\colon A \rightarrow B\) stetig \(\implies\) \(f\) gleichmäßig stetig
Lipschitz-stetig \(\implies\) gleichmäßig stetig

Zwischenwertsatz (intermediate value theorem)

\(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) stetig, \(y \in [\inf{f([a, b])}, \sup{f([a, b])}]\).
Dann existiert ein \(x\in[a,b]\) mit \(f(x)=y\). Insbesondere nimmt \(f\) jeden Wert zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) an.

Fixpunktsätze (fixed-point theorems)

Sei \(a, b \in \mathbb{R}, a < b, g\colon [a,b]\rightarrow [a,b]\) stetig. Dann hat \(g\) einen Fixpunkt.


Stetigkeit von Umkehrfunktionen (continuity of inverse functions)

Sei \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall, \(f\colon I → \mathbb{R}\) stetig und streng monoton wachsend oder fallend.

Dann ist \(f(I)\) ein Intervall, \(f\colon I → f(I)\) bijektiv und die Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon f(I) → I\) stetig und im selben Sinn streng monoton.

6. Differentialrechnung

Eine Funktion \(f\colon I(\subset \mathbb{R}) → \mathbb{R}\) heißt differenzierbar, wenn: $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0) $$ existiert.

Approximation durch eine lineare Funktion:
Sei \(A\subset \mathbb{R}\) offen, \(f\colon A→\mathbb{R}\) und \(x_0 \in A\). Dann ist \(f\) differenzierbar genau dann, wenn: $$ \exists l\in \mathbb{R}\,\exists r\colon \mathbb{R} → \mathbb{R}:[(\forall h\in\mathbb{R},\,x_0+h\in A\colon f(x_0+h)=f(x_0)+lh+r(h)) \\\land\lim_{h→0}\frac{r(h)}{h}=0] $$ \(l\) ist eindeutig bestimmt mit \(l=f'(x_0)\).

Fréchetableitung

\(L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\) bezeichnet die Menge der linearen Abbildungen von \(\mathbb{R}^n\) nach \(\mathbb{R}^m\).

Sei \(A\subset R^n\) offen, \(f\colon A→\mathbb{R}^m\) und \(x_0 \in A\). \(f\) heißt (Fréchet-, total-)differenzierbar in \(x_0\), wenn: $$ \exists L\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\,\exists r\colon \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m:[(\forall h\in\mathbb{R}^n,\,x_0+h\in A\colon f(x_0+h)=f(x_0)+Lh+r(h)) \\\land\lim_{h→0}\frac{\Vert r(h)\Vert }{\Vert h\Vert }=0] $$ \(L\) heißt Fréchetableitung von \(f\).


Ableitungsregeln


Lemma 6.11: \(\forall L \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m),\,\exists C>0,\,\forall h \in \mathbb{R}^n\colon \Vert Lh\Vert\le C\Vert h\Vert\) (Beweis mit Cauchy Schwarz)

Ableitung von Umkehrfunktionen

\(I\subset\mathbb{R}\) Intervall, \(f\colon I →\mathbb{R}\) streng monoton und differenzierbar und \(y_0 \in f(I)\) so, dass \(f'(f^{-1}(y_0))\ne0\). Dann ist \(f^{-1}\) in \(y_0\) differenzierbar und es gilt: $$ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} $$

Richtungsableitung (directional derivative)

$$ v \in\mathbb{R}^n, \Vert v \Vert =1\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{x-x_0}=:\frac{\partial f}{\partial v}(x) $$ \(\frac{\partial f}{\partial v}(x) = \langle\textrm{grad} f(x), v\rangle\)

Satz 6.21: gradient is direction of steepest ascent

\(C^k(A)\): alle Funktionen \(f\colon A→\mathbb{R}\) die auf ganz \(A\) alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung \(k\) haben, wobei diese stetig sind.

Hessematrix

Hesse Matrix äußerste Elemente im Uhrzeigersinn, beginnend 0,0 \(x_1^2,\, x_1x_n,\, x_n^2,\, x_nx_1\).

weitere Eigenschaften


Lokale Extrema

$$ \forall \epsilon>0,\,\forall x\in U_\epsilon(x_0)\cap A \colon f(x_0)\ge f(x) $$ Bei lokalen Extrema gilt: \(\textrm{grad}f(\overline x)=0\)
Extrema finden: kritische Punkte im inneren, Randextrema,..

Satz von Rolle

\(a < b, f\colon [a,b] → \mathbb{R}\) stetig und differenzierbar auf \([a,b]\) und \(f(a) = f(b)\).
Dann existiert ein \(x\in(a,b)\) mit \(f'(x)=0\)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung (mean value theorem)

\(a < b, f\colon [a,b] → \mathbb{R}\) stetig und differenzierbar.
Es gilt \(\exists x \in (a,b)\colon f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)\). Weiters gilt Satz 6.41b.

Satz 6.42 & Korollar 6.43