Analysis 1 (in German)

February 29, 2020 ⧗ 27 minute read

→ 2. Zahlen
→ Körper $(K, +, \ast)$ (field)
→ Ordnungsrelation/partielle Ordnung/Halbordnung (partial order) auf $M$
→ Angeordneter Körper (ordered field) $(K, \le)$ mit Körper $K$ und linearer Ordnung $\le$
→ Ordnungsvollständigkeit (completeness)
→ Induktive Menge (inductive sets)
→ Binomischer Lehrsatz (binomial theorem)
→ Bernoullische Ungleichung (Bernoulli's inequality)
→ Archimedes-Eudoxos
→ Wohlordnungssatz (well-ordering theorem)
→ Potenzen mit rationalen Exponenten
→ Metrik $d\colon X \times X \rightarrow \mathbb{R}$
→ Norm $\Vert \cdot\Vert \colon V \rightarrow \mathbb{R}$
→ Skalarprodukt/inneres Produkt $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon V \times V \rightarrow \mathbb{R}$
→ Cauchy-Schwarz
→ 3. Folgen (infinite sequences)
→ Konvergenz/Divergenz
→ Teilfolgen (subsequences)
→ Cauchykriterium
→ Häufungspunkte (cluster point/accumulation point)
→ Potenzen mit reellen Exponenten und Logarithmen
→ 4. Reihen (series)
→ Absolute Konvergenz
→ Assoziativgesetz für Reihen?
→ Kommutativgesetz für Reihen?
→ Leibnizkriterium
→ Cauchyscher Verdichtungssatz
→ Majoranten-, Minoranten-, Vergleichskriterium
→ Wurzelkriterium
→ Quotientenkriterium
→ Faltung (Convolution)
→ Cauchyprodukt
→ Exponentialfunktion
→ Sinus, Cosinus
→ 5. Stetige Funktionen (continuous functions)
→ Epsilon-Delta Kriterium
→ Lipschitzstetigkeit (Lipschitz-continuity)
→ Topologische Grundbegriffe
→ Stetigkeit in metrischen Räumen
→ Stetigkeit in topologischen Räumen
→ Grenzwert von Funktionen (limits of functions)
→ Sprungstelle, Fortsetzung, hebbare Unstetigkeit
→ Kompaktheit (compactness)
→ Überdeckungen (covers)
→ Oberhalb-/Unterhalbstetigkeit
→ Gleichmäßige Stetigkeit (uniform continuity)
→ Zwischenwertsatz (intermediate value theorem)
→ Fixpunktsätze (fixed-point theorems)
→ Stetigkeit von Umkehrfunktionen (continuity of inverse functions)
→ 6. Differentialrechnung
→ Fréchetableitung
→ Ableitungsregeln
→ Ableitung von Umkehrfunktionen
→ Richtungsableitung (directional derivative)
→ Hessematrix
→ weitere Eigenschaften
→ Lokale Extrema
→ Satz von Rolle
→ Mittelwertsatz der Differentialrechnung (mean value theorem)
→ Satz 6.42 & Korollar 6.43

These are my lecture notes for the analysis 1 course at the Vienna University of Technology.

2. Zahlen

Körper $(K, +, \ast)$ (field)

kommutativ
assoziativ
distributiv
zwei verschiedene neutrale Elemente
inverse Elemente

Ordnungsrelation/partielle Ordnung/Halbordnung (partial order) auf $M$

reflexiv
transitiv
antisymmetrisch

Eine Ordnungrelation heißt lineare Ordnung (Totalordnung/total order) wenn für alle x, y gilt $x \le y \lor y \le x$

Angeordneter Körper (ordered field) $(K, \le)$ mit Körper $K$ und linearer Ordnung $\le$

Verträglichkeit der Ordnungs- und Körperaxiome

$x < y \implies x+z < y+z $
$x > 0 \land y > 0 \implies x \ast y > 0$

In einem angeordneten Körper kann man einen Positivitätsbereich auszeichnen:
$P = \{k\in K \mid k \ge 0\}$, $a \le b \iff b-a \in P$

Ordnungsvollständigkeit (completeness)

Ein angeordneter Körper heißt ordnungsvollständig falls gilt: $\forall A \subset K: (A \ne \emptyset \wedge A \textrm{ nach oben beschränkt}) \implies \sup(A) \textrm{ existiert (in K)}$

"Zwischen zwei ordnungsvollständigen geordneten Körpern existiert stets eine bijektive Abbildung, die Körperstruktur und Ordnung erhält."
$\mathbb{C}$ ist nicht angeordnet und somit auch nicht ordnungsvollständig (allerdings in einem von Ordnung unabhängigen Sinn vollständig)
$\mathbb{R}$ ist ordnungsvollständiger angeordneter Körper

Induktive Menge (inductive sets)

$M \subset \mathbb{R}$ heißt induktiv falls gilt $(1 \in M) \wedge (\forall a \in M: (a+1) \in M)$

Binomischer Lehrsatz (binomial theorem)

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}b^k $$

Bernoullische Ungleichung (Bernoulli's inequality)

$$ n \in \mathbb{N}\setminus\{1\},\, x \in \mathbb{R}\setminus\{0\},\, x > -1\\ (1+x)^n > 1+nx $$

Archimedes-Eudoxos

$\mathbb{N}$ ist nach oben unbeschränkt
$\forall \epsilon>0 \exists n \in\mathbb{N}: \frac{1}{n}< \epsilon$

Wohlordnungssatz (well-ordering theorem)

Jede nichtleere Teilmenge von $\mathbb{N}$ besitzt ein kleinstes Element

Potenzen mit rationalen Exponenten

Potenzen mit rationalen Exponenten sind über ganzzahlige Wurzeln definiert.
Sei $r = \frac{p}{q}$. Dann gilt $$ a^r := \sqrt[q]{a^p}\qquad a^{-r} := \frac{1}{a^r}\qquad 0^r := 0\qquad a^0 := 1 $$

Metrik $d\colon X \times X \rightarrow \mathbb{R}$

Definitheit $d(x, y) = 0 \iff x=y$
Symmetrie
Dreiecksungleichung $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$

$(X, d)$ ist ein metrischer Raum
diskrete Metrik ist $1$ falls $x \neq y$ und $0$ falls $x=y$

Norm $\Vert \cdot\Vert \colon V \rightarrow \mathbb{R}$

Definitheit $\Vert x\Vert = 0 \iff x=0$
Homogenität $\Vert \lambda x\Vert = \vert\lambda\vert \Vert x\Vert$
Dreiecksungleichung $\Vert x+y \Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert$

$(V, \Vert \cdot\Vert)$ ist ein normierter Raum
($d(x, y) = \Vert x-y\Vert$ ist eine Metrik auf $V$)

Skalarprodukt/inneres Produkt $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon V \times V \rightarrow \mathbb{R}$

positive Definitheit $\langle x,x\rangle \ge 0 \wedge (\langle x,x\rangle=0 \iff x=0)$
Symmetrie
Bilinerarität $\langle\lambda x + \mu y,z\rangle = \lambda\langle x, z\rangle + \mu \langle y, z\rangle$

$(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ ist ein euklidischer Vektorraum
$\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ ist eine Norm auf $V$

Cauchy-Schwarz

Euklidischer Vektorraum $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ mit Norm $\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}$
$$\forall x, y \in V: \vert\langle x, y\rangle \vert \le \Vert x \Vert \cdot \Vert x \Vert$$

3. Folgen (infinite sequences)

Konvergenz/Divergenz

$$ x = \lim_{x \to \infty} x_n \\ \iff\forall\epsilon>0,\, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, n\ge n_0\colon \Vert x_n-x\Vert < \epsilon $$

Folge divergent genau dann wenn sie nicht konvergent ist
Folge konvergiert genau dann wenn alle Komponentenfolgen konvergieren
konvergent $\implies$ beschränkt
$a_n \rightarrow a$ $\implies$ $\vert a_n\vert \rightarrow \vert a\vert$
$(a_n \rightarrow 0 \wedge b_n \textrm{beschränkt}) \implies a_n \cdot b_n \rightarrow 0$
$(\forall n \ge n_0 \colon a_n \le b_n) \implies a \le b$
Limes reinziehen in Summe, in Produkt mit Skalar
Sandwichkriterium
$(a_n \rightarrow a \wedge b_n \rightarrow b) \implies (a_n \cdot b_n) \rightarrow a\cdot b$
$(a_n \rightarrow a) \wedge (b_n \rightarrow b \ne0) \wedge (\forall n \ge n_0: b_n \ne 0) \implies \frac{a_n}{b_n} \rightarrow \frac{a}{b}$
Falls $a_n$ reell, monoton fallend und beschränkt, gilt: $\lim_{x \to \infty}a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} (a_n)$ (bzw. infimum, für monoton fallend) (gilt nicht in $\mathbb{Q}$, braucht ordnungsvollständigkeit)
Eine Folge $a_n \rightarrow \pm \infty$ heißt bestimmt divergent mit dem uneigentlichen Grenzwert $\pm \infty$.
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$

Teilfolgen (subsequences)

Jede TF einer konvergenten Folge konvergiert gegen den selben Grenzwert
Jede reelle Folge enthält eine monotone TF
Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte reelle Folge enthält eine konvergente TF (setzt Ordnungsvollständigkeit voraus, Gegenbeispiel wäre $x_n \to \sqrt 2$ in $\mathbb{Q}$)
$a_n \rightarrow a \iff$ alle TF $a_{n_k} \rightarrow a$
Wenn eine Teilfolge divergiert, muss auch die ursprüngliche Folge divergieren

Cauchykriterium

Cauchyfolge: $\forall\epsilon>0,\, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, \forall n, m\ge n_0\colon \Vert a_n-a_m\Vert < \epsilon$
In ordnungsvollständigen Räumen gilt: $a_n \textrm{Cauchyfolge} \iff \textrm{konvergent}$

Häufungspunkte (cluster point/accumulation point)

$x$ ist HP von $x_n$ wenn gilt:
$$ \forall\epsilon>0,\, \forall n_0 \in \mathbb{N}, \, \exists n \ge n_0\colon \Vert x-x_n\Vert < \epsilon $$

$a$ ist HP von $a_n \iff \exists a_{n_k}\colon a_{n_k}\rightarrow a$
jede beschränkte reelle Folge besitzt einen HP
$a_n \rightarrow a \iff \forall a_{n_k}: a \textrm{ ist HP von } a_{n_k}$

Sei $H$ die Menge der HP, also $H = \{k :k \textrm{ ist HP von }a_n\}$

Satz 3.28: Sei $a_n$ eine nach oben (bzw. unten) beschränkte reelle Folge. Es gilt gilt $\sup{H}$ (bzw. inf) ist HP von $a_n$ und $\sup{H} \le \sup{a_n}$ (bzw $\inf{H}\ge \inf{a_n}$).
Sei $H \ne \emptyset$ und $a_n$ nach oben bzw. unten beschränkt, dann sei: $\limsup{a_n} = \sup{H}$ (bzw $=+\infty$ falls $a_n$ nach oben unbeschränkt) $\liminf{a_n} = \inf{H}$ (bzw $=-\infty$ falls $a_n$ nach unten unbeschränkt)
$a_n \textrm{ konvergent} \iff a_n \textrm{ beschränkt} \wedge \limsup{a_n} = \liminf{a_n}$. Dann gilt $\lim_{n \to \infty}a_n = \limsup{a_n}$

Potenzen mit reellen Exponenten und Logarithmen

Sei $a > 0,\, x \in \mathbb{R}$ und $q_n$ eine Folge in $\mathbb{Q}$ ist mit $\lim_{n\to\infty}{q_n=x}$. Dann ist $a^x := \lim_{n\to \infty}{a^{q_n}}$.
Das eindeutige $x\in\mathbb{R}$ in $b^x=a$ mit $b>1,\, a>0$ nennt sich Logarithmus von $a$ zur Basis $b$, $x:=\log_ba$

$e :=\lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}$

4. Reihen (series)

Eine unendliche Reihe ist eine Folge der Gestalt: $$ (\sum_{k=1}^n a_k)_{n\in\mathbb{R}} $$ Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der zugehörigen Partialsummenfolge: $$ \sum_{k=k_0}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=k_0}^n a_k $$
Die Reihe divergiert falls dieser Grenzwert $\pm \infty$ ist.

Konvergenz und Grenzwert einer Reihe in $\mathbb{R}^n$ bzw. $\mathbb{C}$ ist definiert über Konvergenz und Grenzwert ihrer Komponentenreihen.
$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert $\iff \forall\epsilon>0,\, \exists n_0\in\mathbb{N},\, \forall n \ge n_0, \, \forall p \in \mathbb{N}: \Vert \sum_{i=1}^p a_{n+i} \Vert<\epsilon$
$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert $\implies a_n \rightarrow 0$
$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert $\implies \forall k\in\mathbb{N}\colon \sum_{n=k}^\infty a_n$ konvergiert
Reihenkonvergenz und Grenzwert werden unter Addition von Reihen bzw. Multiplikation mit einem Skalar erhalten.

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ mit $a_n \ge 0$ konvergiert genau dann wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist.
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$ konvergiert für $\alpha>1$, divergiert für $\alpha \le 1$.
$\sum_{k=1}^\infty a_0q^k = \frac{a_0}{1-q}$ gilt für $|q|<1$.

Absolute Konvergenz

Eine Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$ heißt absolut konvergent, genau dann wenn $\sum_{n=1}^\infty \Vert a_n\Vert$ konvergiert.
Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent und es gilt: $\Vert\sum_{n=1}^\infty a_n \Vert \le \sum_{n=1}^\infty \Vert a_n\Vert$

Assoziativgesetz für Reihen?

Nein, man kann in einer konvergenten Reihe Klammern setzen aber nicht weglassen
→ Satz 4.10 zu konvergenten Segmenten

Kommutativgesetz für Reihen?

Sei $\sum_{n=1}^\infty a_n$ eine Reihe, $f\colon \mathbb{N} \rightarrow\mathbb{N}$ bijektiv

$\sum_{n=1}^\infty a_{f(n)}$ heißt eine Umordnung der Reihe
Die Reihe heißt unbedingt konvergent wenn jede Umordnung der Reihe konvergiert und die selbe Summe hat.
Sie heißt bedingt konvergent wenn sie konvergent, aber nicht unbedingt konvergent ist.

Es gelten folgende Aussagen:

Eine absolut konvergente Reihe in ($\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$) ist unbedingt konvergent.
Riemannscher Umordnungssatz: Für eine konvergente, aber nicht absolut konvergente reelle Reihe und ein $s \in \mathbb{R}$ existiert eine Umordnung der Reihe mit Summe = $s$. Die Folge ist insbesondere bedingt konvergent.

Leibnizkriterium

Sei $a_n$ eine monoton fallende Folge in $\mathbb{R}_0^+$ mit $a_n \rightarrow 0$.

Die alternierende Reihe $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ konvergiert.
Abschätzung 4.13.b gilt

Cauchyscher Verdichtungssatz

Sei $a_n$ eine monoton fallende Folge in $\mathbb{R}_0^+$. Dann gilt $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergent} \iff \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} \textrm{ konvergent} $$

Majoranten-, Minoranten-, Vergleichskriterium

Sei

$a_n$ eine Folge in $\mathbb{R}$,
$b_n$ eine Folge in $\mathbb{R}^+$,
$c_n$ eine Folge in $\mathbb{R}_0^+$

(gilt auch für Folgen im $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$, im weiteren den Betrag durch eine Norm ersetzen)

Majorantenkriterium $$ \forall n \ge n_0\colon (|a_n|\le c_n) \textrm{ und } \sum_{n=1}^\infty c_n \textrm{ konvergent } \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergent} $$ Minorantenkriterium $$ \forall n \ge n_0\colon (a_n\ge c_n) \textrm{ und } \sum_{n=1}^\infty c_n \textrm{ divergent } \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ divergent} $$ Vergleichskriterium

Falls $\forall n \ge n_0\colon (a_n \ge 0)$ und $x := \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$ existiert, dann gilt, falls $x > 0$: $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergiert} \iff \sum_{n=1}^\infty b_n \textrm{ konvergiert} $$ falls $x = 0$: $$ \sum_{n=1}^\infty b_n \textrm{ konvergiert} \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ konvergiert} $$

Wurzelkriterium

$$ \alpha := \limsup{\sqrt[n]{\Vert a_n\Vert}} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$

$\alpha < 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ absolut konvergent}$
$\alpha > 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ divergent}$

Quotientenkriterium

$$ \alpha := \limsup{\bigg\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg\vert} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$ $$ \beta := \liminf{\bigg\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg\vert} \in\mathbb{R} \cup\{+\infty\} $$

$\alpha < 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ absolut konvergent}$
$\beta > 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n \textrm{ divergent}$

Faltung (Convolution)

$$ (a_n) \ast (b_n) = (c_n) \textrm{ mit}\\ \forall n \in \mathbb{N}\colon c_n := \sum_{i=1}^na_ib_{n+1-i} = \sum_{i+k = n+1} a_i b_k $$

Cauchyprodukt

$$ \textrm{Cauchyprodukt: Reihe zu obigem } c_n \leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty \sum_{i=1}^na_ib_{n+1-i} $$
Seien Reihen $\sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent. Dann ist ihr Cauchyprodukt $\sum_{n=1}^\infty c_n$ absolut konvergent und es gilt: $$ \sum_{n=1}^\infty c_n = (\sum_{n=1}^\infty a_n)\cdot(\sum_{n=1}^\infty b_n) $$

Exponentialfunktion

$$ \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} $$

Sinus, Cosinus

$$ \cos{x} := \textrm{Re}(\textrm{exp}(ix)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}\\ \sin{x} := \textrm{Im}(\textrm{exp}(ix)) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ \cosh{x} := \frac{\exp{x}+\exp{-x}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}\\ \sinh{x} := \frac{\exp{x}-\exp{-x}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$

5. Stetige Funktionen (continuous functions)

$f\colon A \rightarrow B$ heißt

stetig in $x \in A \iff \forall (x_n)\in A^\mathbb{N}\colon [x_n \rightarrow x \implies f(x_n) \rightarrow f(x)]$
stetig (auf $A$)$\iff \forall x \in A\colon f \textrm{ stetig in } x$

rechtsseitig und linksseitig stetig in $x$ $\iff$ stetig in $x$
Eine Funktion ist rechtsseitig bzw. linksseitig stetig in $x$ wenn obige Definition spezifisch für Folgen gilt die von rechts bzw. links gegen $x$ konvergieren.

Die Identitätsfunktion und Zusammensetzungen und Komposition von stetigen Funktionen sind stetig.

Stetigkeit in Outputs kann man getrennt untersuchen, Stetigkeit in Inputs nur zusammen. (Stetigkeit einer vektorwertigen Funktion komponentenweise, Stetigkeit einer Funktion in mehreren Variablen nicht getrennt für die einzelnen Variablen)

Epsilon-Delta Kriterium

$f\colon A \rightarrow B$ heißt stetig in $x$ falls gilt $$ \forall \epsilon > 0,\, \exists\delta>0,\, \forall y\in A\colon \Vert x-y\Vert < \delta \implies \Vert f(x)-f(y)\Vert < \epsilon $$

Lipschitzstetigkeit (Lipschitz-continuity)

$\exists L>0,\, \forall x, y \in A\colon \Vert f(x)-f(y) \Vert \le L \Vert x-y \Vert$
Eine Lipschitz-stetig Funktion mit $L<1$ nennt man kontraktiv.

Topologische Grundbegriffe

Sei $X:=\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$ und $A \subset X$

$U_\epsilon(x) := \{y\in X\colon \Vert y-x\Vert < \epsilon\}$
$x\in A$ ist innerer Punkt von $A \iff \exists\epsilon>0\colon U_\epsilon(x)\subset A$
Inneres: $A^0 = \{x \in A : x \textrm{ ist innerer Punkt von } A\}$
$x\in X$ ist Häufungspunkt von $A \iff \forall\epsilon>0\colon (U_\epsilon(x)\setminus\{x\})\cap A\ne \emptyset$
$x$ isolierter Punkt $\iff$ nicht Häufungspunkt
Abschluss: $\overline A:=A\cup\{x\in X:x \textrm{ ist HP von A}\}$
Rand: $\partial A:=\overline A\setminus A^0$
$A\subset X$ heißt offen $\iff A=A^0$
$A\subset X$ heißt abgeschlossen $\iff A=\overline A$

Jede Funktion ist in allen ihren isolierten Punkten stetig, daher ist die Stetigkeit einer Funktion nur in den Häufungspunkten des Definitionsbereichs interessant.

$(I)$: Sei $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ ist stetig $\iff$ Das Urbild $f^{-1}$ aller offener Mengen $D\in\mathbb{R}$ ist offen

Stetigkeit in metrischen Räumen

Seien $(X, d), (Y, d')$ metrische Räume und $f\colon A (\subset X) \rightarrow Y$

stetig in $x \in X \iff \forall (x_n)\in A^\mathbb{N}\colon [x_n \xrightarrow{X} x \implies f(x_n) \xrightarrow{Y} f(x)]$
stetig (auf $X$)$\iff \forall x \in X\colon f \textrm{ stetig in } x$

(Epsilon-Delta Kriterium mit Metrik statt Norm, topologische Begriffe definiert analog zu oben nur mit Metrik statt Normen)

Analog zu $(I)$ oben: Seien $(X, d), (Y, d')$ metrische Räume.
$f\colon X\rightarrow Y$ ist stetig $\iff$ $\forall O \subset Y \textrm{ offen}\colon f^{-1}(O) \textrm{ offen}$

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Dann gilt:

$X$ und $\emptyset$ sind offen
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen

Stetigkeit in topologischen Räumen

$\mathcal{T} \subset\mathcal{P}(X)$ heißt Topologie falls Bedingungen T1-T3 (analog zu obigen Punkten zu metrischen Räumen) gelten. $(X, \mathcal{T})$ heißt dann topologischer Raum, $\mathcal{T}$ heißt System der offenen Mengen.

→ Definition 5.21 zu Stetigkeit in topologischen Räumen

Für $X\ne \emptyset$ gilt:

$\{X, \emptyset\}$ ist die indiskrete (gröbste) Topologie
$\mathcal{P}(X)$ ist die diskrete (feinste) Topologie

$\mathcal{T}_d:=\{O\subset X : [\forall x \in O,\,\exists\epsilon>0\colon U_\epsilon(x)\subset O]\}$ ist die durch die Metrik erzeugte Topologie.
Ein topologischer Raum $(X, \mathcal{T})$ heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik $d$ auf $X$ gibt, sodass $\mathcal{T}_d=\mathcal{T}$.

Grenzwert von Funktionen (limits of functions)

Sei $f: A \rightarrow B$ und $x_0$ Häufungspunkt von $A$.
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=y \iff \\ \forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in(U_\delta(x_0)\setminus\{x_0\})\cap A\colon f(x)\in U_\epsilon(y) $$
Satz 5.26: Sei $f: A \rightarrow B$ und $x_0$ Häufungspunkt von $A$. $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=y \iff\\ \forall (x_n)\in (A\setminus\{x_0\})^\mathbb{N}\colon [x_n \rightarrow x_0 \implies f(x_n) \xrightarrow{Y} y] $$ ($x_0$ bzw: $y$ können $\in \{+\infty, -\infty\}$ sein)

Linksseitiger Grenzwert (rechtsseitig analog) $$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=y \iff \\\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in(U_\delta(x_0)\setminus\{x_0\})\cap A\cap(-\infty, x_0)\colon f(x)\in U_\epsilon(y) $$
Satz 5.27: $f$ stetig $\iff$ $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ (bzw rechts und linksseitiger Limes)

Sprungstelle, Fortsetzung, hebbare Unstetigkeit

Wenn in $x_0$ die links- und rechtsseitigen Limiten existieren und verschieden sind ist $x_0$ eine Sprungstelle.

Sei $x\notin A$ Häufungspunkt von $A$. $f$ ist nach $x_0$ stetig fortsetzbar, wenn $\lim_{x\to x_0} f(x)$ existiert. $\overline f\colon A \cup \{x_0\} \rightarrow B$ mit [$\overline f(x)=$...] heißt Fortsetzung von $f$.

$f$ besitzt in $x_0$ eine hebbare Unstetigkeit wenn $f$ in $x_0$ unstetig ist aber $\lim_{x\to x_0} f(x)$ existiert.

Kompaktheit (compactness)

$A \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$ heißt (folgen-)kompakt $\iff$ $$ \forall (x_n)\in A^\mathbb{N},\,\exists (x_{n_k}),\, \exists x \in A \colon x_{n_k} \rightarrow x $$ (Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, ähnlich zu Bolzano Weierstraß in $\mathbb{R}$, aber $x\in A$)

Sei $A \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$: $A$ ist kompakt $\iff A$ abgeschlossen und beschränkt (von einer 1-Kugel der Norm)

Bsp: $A= (0, 1), a_n=(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},..).$ $a_n$ kann nicht gegen $0$ konvergieren da $0 \notin A$.

Überdeckungen (covers)

Eine Familie offener Mengen heißt offene Überdeckung von $A$, wenn $A$ eine Teilmenge ihrer Vereinigung ist.
endliche Teilüberdeckung: endliche Teilmenge einer offenen Überdeckung die auch selbst eine Überdeckung ist.

$A$ ist überdeckungskompakt genau dann, wenn zu jeder offenen Überdeckung von $A$ eine endliche Teilüberdeckung existiert.

$A$ folgenkompakt $\iff$ $A$ überdeckungskompakt
$f\colon A \rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbb{R}^m$ oder $\mathbb{C}$ stetig $\implies f(A)$ kompakt
$f\colon A \rightarrow \mathbb{R}$ stetig $\implies$ $f$ nimmt in jeweils mindestens einem Punkt von $A$ das globale min/max an.

Oberhalb-/Unterhalbstetigkeit

Gleichmäßige Stetigkeit (uniform continuity)

$f\colon A \rightarrow B$ heißt gleichmäßig stetig auf $A$ wenn gilt: $$ \forall \epsilon > 0,\,\exists\delta>0,\,\forall x,y \in A\colon (\Vert x-y\Vert<\delta \implies\Vert f(x)-f(y)\Vert < \epsilon) $$ Heine: $A$ kompakt und $f\colon A \rightarrow B$ stetig $\implies$ $f$ gleichmäßig stetig
Lipschitz-stetig $\implies$ gleichmäßig stetig

Zwischenwertsatz (intermediate value theorem)

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, $y \in [\inf{f([a, b])}, \sup{f([a, b])}]$.
Dann existiert ein $x\in[a,b]$ mit $f(x)=y$. Insbesondere nimmt $f$ jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an.

Fixpunktsätze (fixed-point theorems)

Sei $a, b \in \mathbb{R}, a < b, g\colon [a,b]\rightarrow [a,b]$ stetig. Dann hat $g$ einen Fixpunkt.

Fixpunktsatz von Brouwer
Banachscher Fixpunktsatz (+Verfahren der sukzessiven Approximation)
→ Korollar 5.49

Stetigkeit von Umkehrfunktionen (continuity of inverse functions)

Sei $I \subset \mathbb{R}$ ein Intervall, $f\colon I → \mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend oder fallend.

Dann ist $f(I)$ ein Intervall, $f\colon I → f(I)$ bijektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon f(I) → I$ stetig und im selben Sinn streng monoton.

6. Differentialrechnung

Eine Funktion $f\colon I(\subset \mathbb{R}) → \mathbb{R}$ heißt differenzierbar, wenn: $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0) $$ existiert.

Approximation durch eine lineare Funktion:
Sei $A\subset \mathbb{R}$ offen, $f\colon A→\mathbb{R}$ und $x_0 \in A$. Dann ist $f$ differenzierbar genau dann, wenn: $$ \exists l\in \mathbb{R}\,\exists r\colon \mathbb{R} → \mathbb{R}:[(\forall h\in\mathbb{R},\,x_0+h\in A\colon f(x_0+h)=f(x_0)+lh+r(h)) \\\land\lim_{h→0}\frac{r(h)}{h}=0] $$ $l$ ist eindeutig bestimmt mit $l=f'(x_0)$.

Fréchetableitung

$L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ bezeichnet die Menge der linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^n$ nach $\mathbb{R}^m$.

Sei $A\subset R^n$ offen, $f\colon A→\mathbb{R}^m$ und $x_0 \in A$. $f$ heißt (Fréchet-, total-)differenzierbar in $x_0$, wenn: $$ \exists L\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\,\exists r\colon \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m:[(\forall h\in\mathbb{R}^n,\,x_0+h\in A\colon f(x_0+h)=f(x_0)+Lh+r(h)) \\\land\lim_{h→0}\frac{\Vert r(h)\Vert }{\Vert h\Vert }=0] $$ $L$ heißt Fréchetableitung von $f$.

Komponentenfunktionen unabhängig differenzierbar
Differenzierbar in $x_0\implies$ stetig in $x_0$
partielle Ableitung $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_1,..,x_k+t,..,x_n)-f(x)}{t}$
Gradient: partielle Ableitungen in alle Richtungen
Jacobi-Matrix: Zeilen sind verschiedene Outputs, Spalten sind verschiedene Richtungen
stetig differenzierbar: Alle partiellen Ableitungen existieren und sind stetig
stetig differenzierbar $\implies$ (Fréchet-)differenzierbar $\implies$ alle partiellen Ableitungen existieren (Umkehrungen gelten nicht)

Ableitungsregeln

Produkt mit Skalar rausziehen (genauso in höheren Ableitungen)
Komponenten von Summe getrennt ableiten (genauso in höheren Ableitungen)
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Leibnizsche Regel (höhere Ableitungen für Produkt)

Lemma 6.11: $\forall L \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m),\,\exists C>0,\,\forall h \in \mathbb{R}^n\colon \Vert Lh\Vert\le C\Vert h\Vert$ (Beweis mit Cauchy Schwarz)

Ableitung von Umkehrfunktionen

$I\subset\mathbb{R}$ Intervall, $f\colon I →\mathbb{R}$ streng monoton und differenzierbar und $y_0 \in f(I)$ so, dass $f'(f^{-1}(y_0))\ne0$. Dann ist $f^{-1}$ in $y_0$ differenzierbar und es gilt: $$ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} $$

Richtungsableitung (directional derivative)

$$ v \in\mathbb{R}^n, \Vert v \Vert =1\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{x-x_0}=:\frac{\partial f}{\partial v}(x) $$ $\frac{\partial f}{\partial v}(x) = \langle\textrm{grad} f(x), v\rangle$

Satz 6.21: gradient is direction of steepest ascent

$C^k(A)$: alle Funktionen $f\colon A→\mathbb{R}$ die auf ganz $A$ alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $k$ haben, wobei diese stetig sind.

Hessematrix

Hesse Matrix äußerste Elemente im Uhrzeigersinn, beginnend 0,0 $x_1^2,\, x_1x_n,\, x_n^2,\, x_nx_1$.

weitere Eigenschaften

$f, g$ beide $k$-mal (stetig) differenzierbar $\implies g\circ f$ $k$-mal (stetig) differenzierbar
Funktion auf einem Intervall mit $f'(x)\ne0$, $k$-mal stetig differenzierbar $\implies$ Umkehrfunktion auch $k$-mal stetig differenzierbar

Lokale Extrema

$$ \forall \epsilon>0,\,\forall x\in U_\epsilon(x_0)\cap A \colon f(x_0)\ge f(x) $$ Bei lokalen Extrema gilt: $\textrm{grad}f(\overline x)=0$
Extrema finden: kritische Punkte im inneren, Randextrema,..

Satz von Rolle

$a < b, f\colon [a,b] → \mathbb{R}$ stetig und differenzierbar auf $[a,b]$ und $f(a) = f(b)$.
Dann existiert ein $x\in(a,b)$ mit $f'(x)=0$

Mittelwertsatz der Differentialrechnung (mean value theorem)

$a < b, f\colon [a,b] → \mathbb{R}$ stetig und differenzierbar.
Es gilt $\exists x \in (a,b)\colon f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$. Weiters gilt Satz 6.41b.

Dominik Schmidt